Anwendung des Archimedischen Prinzips

Austarierung einer Unterwasserkamera

Eine Unterwasserkamera habe eine Masse \(M_K = 3.409\text{ kg}\) und ein Volumen \(V_K = 3.93\) l. Sie soll unter Wasser bei einer Wasserdichte \(W = 1.025\text{ kg/l}\) schweben können ohne zu sinken oder zu steigen. Bei einer Erdbeschleunigung \(g = 9.81\text{m/s}^2\) ist ihr Gewicht \(G_K = M_K g = 33.44\) N. Ihr Auftrieb ist \(V_{kW} = 40.28\) N. Es ergibt sich damit ein Überschuß von \(K = 6.84 \text{ N}\), der die Kamera steigen läßt. Zum Ausgleich soll ein kleiner Stahlblock der Dichte \(\varrho=7.9\text{ kg/l}\) außen an der Kamera befestigt werden.

Frage:

Wie viel Masse \(m_S\) muß er haben, damit er im Wasser mit der Kraft \(K\) nach unten zieht?

Antwort:

Unter Wasser wirkt abwärts die Schwerkraft und aufwärts der Auftrieb gleich dem Gewicht des von ihm verdrängten Wassers, zusammen also \begin{align} K&= m_S\,g -V_S\varrho_W\, g \\ &=m_S\, g -\frac{m_S}{\varrho_S} \varrho_W\, g\\ &=m_S\,g\left(1-\frac{\varrho_W}{\varrho_s} \right). \end{align} Die gesuchte Masse ist also \[ m_S = \frac{\displaystyle\frac{K}{g}}{1- \displaystyle\frac{\varrho_W}{\varrho_s}}. \]

Zahlenbeispiel:

Das Wasser habe die Dichte \(\varrho_W=1.025 \) kg/l, der Gegenstand sei aus Stahl mit der Dichte \(\varrho_S=7.9\) kg/l, und die Kraft sei 6.0 N. Das erfordert für den Gegenstand dann eine Masse \[ m_s=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{6.08}{9.81}} {1-\displaystyle\frac{1.025}{7.9}} \text{kg} = 0.713\text{ kg}. \]