Exponentialaufgaben
Aufgabe 1
Gesucht ist \(x\) in
\[
9^x-6^x=4^x.
\]
Faktorisierung
\begin{align}
3^x\cdot3^x -2^x\cdot 3^x &= 2^x\cdot2^x\\
\to
\left(\frac{9}{4} \right)^x-\left(\frac{3}{2} \right)^x&=1\\
\to
\left(\frac{3}{2} \right)^{2x}-\left(\frac{3}{2} \right)^x&=1
\end{align}
Substitution
\begin{align}
\left(\frac{3}{2}\right)^x\equiv y\\
\to y^2-y -1=0\\
\Rightarrow y=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+1 }
=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5} \right)\\
\end{align}
Von beiden Lösungen der quadratischen Gleichung
ist hier nur diejenige mit dem Pluszeichen vor der Wurzel zu verwenden,
da es andernfalls zu einem Logarithmus eines negativen Zahl führen würde.
Ergebnis
\[
x=\frac{\log\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)
}{\log\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)}.
\]
Aufgabe 2
Gesucht ist \( x\) in
\[
4^{x-1} -9^x = 3^{2x-1} - 2^{2x+1}
\]
Lösung
Die gegebene Gleichung läßt sich umschreiben zu
\begin{align}
\frac{2^{2x}}{4} + 2\cdot 2^{2x} &=3^{2x}+\frac{3^{2x}}{3}\\
%\frac{2^x \cdot2^x}{4} + 2\cdot 2^{x}\cdot2^x &= 3^x\cdot3^x+\frac{3^x\cdot3^x}{3}\\
\to \frac{27}{16}\cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{2x}&= 1.
\end{align}Damit wird die Lösung
\[
x=\frac{\log(16/27)}{2\log(2/3)}.
\]
Zu überprüfen!
Aufgabe 3
Gesucht ist \(x\) in
\[
2^x+8^x=130.
\]
Lösung
Die Gleichung läßt sich umschreiben zu
\[
2^x + \left(2^x\right)^3 = 130.
\]
Mit der Substition
\[
2^x \equiv y
\]
wird daraus die kubische Gleichung für \(y\)
\[
y^3 + y -130 =0.
\]
Sie hat (geraten oder mit WolframAlpha gefunden)
die Lösung
\[
y=2^x=5.
\]
Damit ist der gesuchte Wert von \(x\) gleich
\[
x = \frac{\log{5}}{\log{2}}.
\]
Die zu verwendenden
Potenzregeln
findet man z. B. hier.
© Günter Green
zu den Physikthemen
3-Aug-2023
