Hummelflug

In Arbeit und noch zu überprüfen

Es wird häufig gesagt, Hummeln könnten theoretisch gar nicht fliegen. Andere meinen, sie könnten es doch, und begründen das allerdings in fragwürdiger Weise, etwa indem sie – fern von konventioneller Physik – erklären, Hummeln erzeugten im Fluge einen Wirbel, an dem die sich abstützten.

Wie läßt sich der Hummelflug vernünftig erklären?

Eine Hummel hat eine Masse \(M\) von gut einem Gramm. Ihr Gewicht \(G = Mg\) beträgt also etwa 10^-2 N. Um in der Luft zu schweben, braucht sie deshalb einen Schub S dieser Stärke. Sie produziert ihn, indem sie mit ihren Flügelschlägen Luft abwärts bläst. Man kann dies gelegentlich spüren, wenn einem eine Hummel dicht über einer Hand schwebt. Der Rückstoß dieser Luft trägt ihr Gewicht.

Durch die Fläche Q, in der ihre Flügel arbeiten, hindurch pumpt die Hummel mit der Durchtrittsgeschwindigkeit \(v_D\) Luft als Strahl nach unten. Dieser Strahl verjüngt sich nach unten, und seine Geschwindigkeit nimmt nimmt dabei von \(v_D\) auf \(w\) zu.

Bem Schweben in konstanter Höhe ist die umgebende Luft in Ruhe. Im Steigflug mit der Geschwindigkeit \(v_↑\) (entgegen der Strahlrichtung) liefert das Flügelpaar (beim Hubschrauber der Rotor) dem Schubstrahl die Leistung \begin{align} &P_\text{geliefert}\\ &= \small\text{Schub}\cdot \text{ Durchtrittsgeschwindigkeit} \\ &=\dot{m}\left(w-v_\uparrow \right)v_D. \end{align} Darin ist \(\dot{m}\) die Rate der hindurchtretenden Luftmasse \(m.\) Sie ergibt sich aus der zu tragenden Masse \(M\) als \[ \dot{m}=\frac{gM}{w-v_\uparrow} \]

Die zugeführte Leistung findet sich wieder im Schubstrahl als Strahlleistung \[ P_\text{Strahl}=\frac{\dot{m}}{2}\left(w^2-v_\uparrow^2 \right). \] Aus dieser Erhaltung der Leistung ergibt sich \begin{align} &\underbrace{\overbrace{\dot{m}\left(w-v_\uparrow\right)}^\text{Schub} v_D} _\text{an den Strahl geliefert} = \underbrace{\frac{\dot{m}}{2}\left(w^2-v_\uparrow^2 \right)}_ {\text{im Schubstrahl}}\\ &\to v_D=\frac{w+v_\uparrow}{2}\\ & \text{ oder } \boxed{w =2 v_D-v_\uparrow} \end{align}

Bei konstanter Schwebehöhe \((v_\uparrow=0)\) verdoppelt sich also die Durchtrittsgeschwindigkeit \(v_D\) auf die Strahlgeschwindigkeit \(w\), und die benötigte Schwebeleistung ist \begin{align} P_\text{Schwebe} = \frac{\dot{m}}{2}\,w^2. \end{align}

Bei einer Luftdichte ρ ist die Luftmassenrate \(\dot{m}=Q\varrho v_D \). Der Schub – betragsmäßig gleich dem Gewicht – entsteht damit gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz in der Stärke \begin{align} S=G&=\dot{m}w\\ &= Q\varrho v_D w =Q\varrho \frac{w^2}{2}. \end{align} Die erforderliche Strahlgeschwindigkeit ist entsprechend \[ w = \sqrt{\frac{2G}{Q\varrho}}. \] Wie hängt die erforderliche Schwebeleistung von der Traglast \(M\) und von der Rotor- bzw. Blattfläche ab?

Die Schwebeleistung ist mit der genannten Luftmassenrate \(\dot{m}\) gleich \begin{align} P_\text{Schwebe} &= \frac{\dot{m}}{2}\,w^2 =\frac{gMw}{2}\\ &=\sqrt{\frac{(gM)^3}{2Q\varrho}}. \end{align} Mit zunehmender Traglast \(M\) nimmt sie mit \(M^{3/2}\) zu.
Je schwerer ein Hubschrauber bei gegebenem Rotorradius ist, desto mehr Schwebeleistung braucht er.

Mit zunehmender Strahlfläche \(Q\) verringert sie sich proportional zu \(1/\sqrt{Q}\), d. h. bei einem Hubschrauberrotor mit dem Radius \(r\) proportional zu \(1/r\).
Je größer der Hubschrauberrotorradius bei gegebener zu tragender Masse \(M\) ist, um so weniger Schwebeleistung ist erforderlich.

Zahlenbeispiele:

Mit \(Q≅ 400\text{ mm}^2\) und \(\varrho≅1\text{ kg/m}^3\) beträgt die Strahlgeschwindigkeit bei einer Hummel mit \(M=0.001\text{ kg}\) etwa \(w=7\text{ m/s}\).

Ein leichter R22-Hubschrauber mit \(Q=46\text{ m}^2\) und einer Masse \(M= 621\) kg erfordert eine Strahlgeschwindigkeit von \(w=16.4\text{ m/s}\).

Pro Sekunde bläst die Hummel wie auch jeder Hubschrauber bei konstanter Schwebehöhe mit dieser Strahlgeschwindigkeit pro Sekunde die Luftmassenrate \begin{align} \dot{m}&=\frac{G}{w} =\frac{gM}{w}=0.0014\text{ kg/s}\\ \end{align} abwärts.

Beim R22-Hubschrauber wäre \(\dot{m}= gM/w=390\text{ kg/s} \).

In allen Fällen ist das Verhältnis von Luftmassenrate zu der zu tragenden Masse gleich \[ \frac{\dot{m}}{M} = \frac{g}{w}. \] Als erforderliche Schwebeleistung (z. B. in Nm/s) ist \[ P_\text{Schwebe} = \frac{g}{2}\,M w \] aufzubringen.

Bei einer Hummel mit 1 g Masse also 35 mW, bei einem leichten Hubschrauber mit 1000 kg Masse etwa 34 kW entsprechend ca. 45 PS.

Ergebnis

Hummeln können offenbar durch ihren Flügelschlag den nachweisbaren Luftstrahl erzeugen, dessen Rückstoß sie trägt und auch voranbringt. Hummeln können also fliegen und zwar sogar theoretisch.

Nach dem gleichen Prinzip und nach den gleichen Formeln wie hier fliegen auch Hubschrauber.

Strahlgeschwindigkeit, Luftmassenrate für den Strahl und erforderliche Leistung, um der Körper in der Schwebe zu halten, nehmen alle proportional zur Wurzel der zu tragenden Masse zu.