Druck in einer Seifenblase

Will man eine Seifenblase vergrößern, muß man gegen den Innendruck \(p\) die Volumenarbeit \begin{align} \text{d}W_V &= F_\text{radial}\text{ d}r\\ &= 4\pi p r^2\text{d}r \end{align} aufwenden.

Sie ist gleich der Arbeit für die Vergrößerung ihrer Oberfläche \(A\) gegen die Oberflächenspannung \(\sigma\): \[ \text{d}W_A = \sigma\text{ d} A. \] Wegen \(A=4\pi r^2 \) ist \(\text{d}A=8\pi r\text{ d}r\) und \[ \text{d}W_W = 8\pi r\sigma \text{ d}r. \] Aus \(W_V=W_A\) ergibt sich der Druck in der Seifenblase als \[ p=\frac{2\sigma}{r}. \] Je kleiner die Blase ist, um so höher ist also der Druck darin. Dies spürt man deutlich beim Aufblasen eines Luftballons: Am Anfang geht's am schwersten.