Volumenerhaltung bei einem Rotationsellipsoid

Eine Kugel mit dem Radius \(a\) werde abgeplattet zu einem Rotationsellipsoid. Der äquatoriale Radius vergrößere sich dabei auf \(a+h\). um welchen Betrag \(x\) müßte sich dabei der polare Radius verringern, damit das Volument erhaltenbleibt? Dazu muß gelten \[ (a+h)^2 (a-x) = a^3. \] oder entsprechend \[ x = a\left(1-\frac{a^2}{(a+h)^2}\right) \approx \frac{2ah}{a+2h} \approx 2h. \] Die Näherungen gelten bei kleinen Abplattungen, also für \(h\ll a\).

Zu einer geringen äquatorialen Radiusvergrößerung um \(h\) gehört also eine doppelt so große Verkleinerung des polaren Radius um \(2h\).